Schnittpunkte der Kanten des Quaders mit der Ebene


\(\\\)

Aufgabe 1 Koordinaten von Q

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In dem eingezeichneten Dreieck, dass parallel zur \(x_2 x_3\)-Ebene liegt, befindet sich sowohl das Viereck \(ABFE\) mit dem Punkt \(Q_t\) sowie die Gerade \(h\). Die Koordinaten von \(Q_t\) sind \((4|a|3)\). Gesucht ist die \(x_2\)-Koordinate \(a\), die wir mit dem Strahlensatz im dargestellten Dreieck bestimmen können.

\( \quad \begin{align} \tfrac{a}{3} & = \tfrac{\overline{AB}}{\overline{BP_t}} \\[8pt] \tfrac{a}{3} & = \tfrac{4}{t} && \bigl| \; \cdot 3 \\[8pt] a & = \tfrac{12}{t} \end{align} \)

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Damit erhalten wir \(Q_t \left(4|\tfrac{12}{t}|3 \right)\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Punkt R

Da das Viereck \(ABCO\) ein Quadrat ist und \(Q_t\) und \(R_t\) den gleichen Abstand vom Punkt \(F\) haben müssen, ergibt sich \(R_t(\tfrac{12}{t}|4|3)\).

Wir berechnen die Länge der Strecke \(\overline{Q_t R_t}\) mit

\( \quad \begin{align} \overline{Q_t R_t} & = \bigl| \vec{r}-\vec{q} \bigl| \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| & = \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \tfrac{12}{t} \\ 4 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 4 \\ \tfrac{12}{t} \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| & = \begin{vmatrix} \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} \tfrac{12}{t}-4 \\ 4-\tfrac{12}{t} \\ 0 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{vmatrix} \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| &= \sqrt{\left( \tfrac{12}{t}-4 \right)^2 + \left( 4-\tfrac{12}{t}\right)^2} \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| & = \sqrt{ \tfrac{144}{t^2}-2 \cdot 4 \cdot \tfrac{12}{t}+16 + 16-2 \cdot 4 \cdot \tfrac{12}{t}+\tfrac{144}{t^2}} \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| &= \sqrt{\tfrac{288}{t^2}-\tfrac{192}{t}+32} \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| & = \sqrt{\tfrac{288-192t+32t^2}{t^2}} \\[12pt] \bigl| \overline{Q_t R_t} \bigl| & = \tfrac{1}{t} \cdot \sqrt{32t^2-192t+288} \end{align} \)

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